Question

高中数学：将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为？

Answer 1

取AC的中点M，连BM、DM，则易得BD=DM=√2/2a，又BD＝a故∠BMD＝90°
于是BM⊥DM，且BM⊥AC，故BM⊥面ACD
∴V B-ACD＝1/3·（a^2)/2·√2a/2＝（√2/12）a³
本题如果求得∠BMD不为直角，则可以选择△BMD为底面，把所求三棱锥转化为两个以△BMD为底面的三棱锥，且这两个三棱锥的高分别是AM和CM，这是很常用的手法，注意体会，不过本题由于比较特殊，故不需要这样做了！

Answer 2

BD=BA=BC=a
∴选B为顶点方便
底面积S△ADC=0.5a²
B点在△ADC上的投影为记为B‘
∴B’D²+h²=a²，B‘A²+h²=a²，B’C²+h²=a²（发现B‘是三边中垂线的交点，B’点容易求）
解得h=（√2/2）a
根据等体积法，S三棱锥D-ABC=三棱锥B-ADC=（1/3）*h*S△ADC=（1/3）*（√2/2）a
*0.5a²
=（√2/12）a³

Answer 3

12分之根号下2 × a的3次方