Question

关于数列的压轴题

数列 An 为各项均为正数的非常数等差数列 A1=1 从该数列中依次抽出无穷项构成等比数列Bn 已知 B1=A1 B2=A3 B4=A27

1、设Sn=∑（1/An） Tn=∑（2/Bn） 是否存在正整数m 使 Sm＞Tn 对一切n∈N 恒成立 说明理由

2、求使{（6An-3）Bn/（An*A(n+1)）} 的前n项Pn大于2012的最小自然数n
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Answer 1

1、设等差数列首项为a＝1，公差为d，则由题设有（1+2d）^3=1^2*(1+26d),即可得到d=0（舍去）或d=1或d=-2.5（舍去），故An=n,Bn=3^(n-1).因此Tn=2(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=3(1-(1/3)^n)<3,而当m=16时Sm=1+1/2+1/3+1/4+…+1/16>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+…+1/16)(共有8个1/16)=3>Tn,故m=16满足题意，即存在这样的m.
2、(6An-3)Bn/(An*An+1)=(2n-1)*(3^n)/n(n+1)=(3*(n+1))/(n+1)-(3^n)/n,故其前n项和为Pn=(3*(n+1))/(n+1)-3,因此Pn>2012等价于(3*(n+1))/(n+1)>2015,直接代入验证可知所求最小自然数为n=8.