Question

以椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线与椭圆交于点P,F2为右焦点，为什么角F1PF2=60度？

Answer 1

长半轴和短半轴没有固定值，就不是特殊三角形，怎么可能是〈F1PF2=60度？
P点坐标为（-c，±b^2/a),
tan<PF2F1=|PF1|/|F1F2|=(b^2/a)/(2c)=（a^2-c^2)/(2ac)=(1/2)(1-e^2)/e,
从以上关系式可知，〈F1PF2只与其离心率有关，
如e=c/a=1/3,
则tan<PF2F1=(1/2)*√（1-1/9）/（1/3）=√2/9，
∴《PF2F1≠60°，
若〈F1PF2=60°，
则〈PF2F1=30°，
(1/2)(1-e^2)/e=√3/3，
e=√3/3，
即c=√3a/3,
椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/(2a^2/3)=1.
此时〈F1PF2=60°。
所以不是在任何情况下〈F1PF2=60°。

Answer 2

角F1PF2=60度 PF2=2PF1 F1F2=√3PF1
PF1+PF2=2a F1F2=2c
e=(F1F2)/(PF1+PF2)=√3PF1/(3PF1)=√3/3

追问

可是角F1PF2为什么等于60度呢？
我其实想问：
椭圆x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)的焦点为F1、F2，过又焦点F2作x轴的垂线与椭圆在第一象限内相交于M点，长轴端点A与短轴端点B的连线交直线OM于G，且G是线段AB的中点，又F1到直线OM的距离是3.求b=c
求解啊！！拜托了

追答

是三角形F1PF2是特殊三角形
设PF1为x 所以F1F2为根号3x PF2为2x
PF1加PF2等于2a
F1F2为2c
将2c 2a都用x表示出来
离心率即c/a 就可以了

追问

拜托证明一下三角形F1PF2是特殊三角形吧

追答

是