Question

初中二年级数学题。高分求解，要有过程

关于x的方程：x+1/x（1/x其实是x分之1，下面也一样）=c+1/c的解为x①=c,x②=1/c;x-1/x=c-1/c（可变形为x+(-1/x)=c+(-1/c)）的解为x①=c,x②=-1/c;x+2/x=c+2/c的解为x①=c,x②=2/c;x+3/x=c+3/c的解为x①=c,x②=3/c,……

⑴请根据上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+m/x=c+m/c(m≠0)与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证。

⑵请总结上面的结论，并求出方程y+(2/y-1)=a+(2/a-1)的解。

Answer 1

解析：
（1）由上述方程与解的特征可猜想：
关于x的方程x+m/x=c+m/c(m≠0)的解为：x①=c,x②=m/c
验证如下：当x①=c时，方程左边=c+m/c=右边，成立；
当x②=m/c时，方程左边=m/c +m/(m/c)=m/c +m×(c/m)=m/c +c=c+ m/c=右边，成立；
这就是说关于x的方程x+m/x=c+m/c(m≠0)的解为：x①=c,x②=m/c

（2）由题意易知a≠1，则：
方程y+(2/y-1)=a+(2/a-1)可化为：
y-1+ 2/(y-1) =a-1 + 2/(a-1)
令x=y-1，c=a-1，那么原方程可化为：
x+ 2/x =c +2/c
则由第1小题结论可得：
方程x+ 2/x =c +2/c的解为：x①=c,x②=2/c
因为x=y-1，c=a-1，所以：
y①-1=a-1，y②-1=2/(a-1)即y②=2/(a-1) +1=(a+1)/(a-1)
即方程y+(2/y-1)=a+(2/a-1)的解为：
y①=a，y②=(a+1)/(a-1)

Answer 2

(1)x①=m,x②=m/c;
当x①=m，左边=M+1，右边=M+1,左边=右边，所以x①=m是原方程的解。
x②=m/c，左边=c+m/c,左边=c+m/c，,左边=右边，所以x①=m是原方程的解。
(2)y=a,y=(a+1)/(a-1)
y+(2/y-1)=a+(2/a-1)变形为y-1+(2/y-1)=a-1+(2/a-1)，则y-1=a-1。y-1=2/(a-1)
y=a,y=(a+1)/(a-1).

Answer 3

先两边同乘x得

x^2+m=(c+m/c)x

x^2-(c+m/c)+m=0

（介于是初二的问题，没有学过2次方程求根公式，所以我用初二的方法来说明）

根据方程的概念，是等式成立的未知数的值。

当x=c时 左=c+m/c=右 等式成立，所以c是该方程的根

当x=m/c时 左=m/c+m/(m/c)=c+m/c=右 等式成立，所以m/c是该方程的根

综上 x1=c，x2=m/c 是方程的根。

另外初三时会学2次方程求根公式这点内容会很简单。

追问

第2问呢？

Answer 4

(1)
方程x+m/x=c+m/c的解为
x①=c,x②=m/c
将x①=c,x②=m/c代入原方程，都成立
所以方程的解为
x①=c,x②=m/c
(2)
方程y+(2/y-1)=a+(2/a-1)可化为
(y-1)+2/(y-1)=(a-1)+2/(a-1)
所以
y-1=a-1或y-1=2/(a-1)
解得
y①=a，y②=(a+1)/(a-1)