Question

我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形

若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）、写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ，

（2）、 如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O(0,0),A（3,0),B(0,4)，请你画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB。 并写出M的坐标
(3)（3）以三角形ABC的边AB,AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，连接CE,BG相较于O点，P是线段DE上任意一点，求证：四边形OBPE是勾股四边形

Answer 1

1）填正方形，长方形；
（2）如图，
（3）证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=60°，
∵∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
又∵BE=BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
连接EC，则△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．

Answer 2

我们要证明四边形OBPE是勾股四边形，从中我们可以看出OB,OE,BE是定量，我们要从这里下手，而根据问题补充我们可以知道就是要我们证明三角形BOE是直角三角形即可。

那么，根据SAS证明三角形BCA和BAG全等，那么角AEC和ABG相等，设AB和EO交于点K，那么角KOB=角KAE，及证明了三角形BOE是直角三角形了，所以原命题得证了

Answer 3

证明：∵△ABD为等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=60°，
∵∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
又∵BE=BC，
∴△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
连接EC，则△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．点评：此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目．

Answer 4

（1）矩形，直角梯形（2）图（1）在哪？M（3,4）（矩形）
（3）易证△ACE≌△AGB（SAS），AB、CE交点为H，<AHE=<BHO,<AEC=<ABG,所以<BOE=<BAE=90°.则无论P在哪，都有BO²+EO²=BE².

Answer 5

解：

　　（1）正方形、长方形、直角梯形．（任选两个均可）········· 2分（填正确一个得1分）

　　（2）答案如图所示．或．（没有写出不扣分）

　　　　　　　

　　 ·· 2分（根据图形给分，一个图形正确得1分）

　　（3）证明：连结

　　　　　　

　　··············· 5分

　　，·············· 6分

　　 ，········ 7分

　　 ······· 8分

　　，即四边形是勾股四边形······· 9分