Question

f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a<b,则必有 af(b))≤bf(a）

解释一下为什么不能用xf'(x)+f(x)=( xf(x) )'≤0 所以bf(b)≤af(a)

Answer 1

F(x)=f(x)/x，则F'(x)=【xf'(x)－f(x)】/x^2＝【xf'(x)+f(x)】/x^2－2f(x)/x^2<0，因此
F(x)是递减函数，故a<b时有F(a)>F(b)，即
f(a)/a>f(b)/b，等价于
bf(a)>af(b)。
你说得结论也对，也可以用来证明。
af(b)<bf(b)<af(a)<af(b)

追问

af(b)<bf(b)<af(a)<af(b)
这之间 用等号也仍然成立么

追答

按题意，不等号严格成立，当然你加上等号也没有错误。

Answer 2

这也是对的，只是跟题目中要证的没什么关系啊
f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0
可以得出f(x)是递减的
要构造函数g(x)=f(x)/x来证明的

Answer 3

按照你的推理：bf(b)≤af(a)也是成立的。