Question

已知函数f(x)对任意x都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,且f(4)=4，则f(2012)=?

Answer 1

已知函数f(x)对任意x都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,且f(4)=4，则f(2012)=?
解析：∵函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称
∴将函数y=f(x-1)的图像水平左移一个单位得到函数y=f(x)的图像关于原点(0,0)对称
∴函数f(x)为奇函数
又函数f(x)对任意x都有f(x+6)+f(x)=2f(3)
∴f(0+6)+f(0)=2f(3)==>f(6)=2f(3)
∴f(6)=f(3)=0
f(3+6)+f(3)=2f(3)==>f(3+6)=f(3)
∴f(x+6)=f(x)
即函数f(x)为周期是6的周期函数
∵f(4)=4
∴f(2012)=f(336*6-4)=f(-4)=-f(4)=-4

验证：
设f(x)=-8*sqrt(3)/3*sin(pi()/3*x)
F(-x)=-f(x)
函数f(x)对任意x都有f(x+6)+f(x)=2f(3)
T=2π/(π/3)=6
y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,且f(4)=4
f(2012)=-4
完全符合题意

追问

周期是12吧？

追答

解析：∵函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称
∴将函数y=f(x-1)的图像水平左移一个单位得到函数y=f(x)的图像关于原点(0,0)对称
∴函数f(x)为奇函数
又函数f(x)对任意x都有f(x+6)+f(x)=2f(3)
∴f(0+6)+f(0)=2f(3)==>f(6)=2f(3)
∴f(-3+6)+f(-3)=2f(3)==>f(3)-f(3)=2f(3)==>f(3)=0
f(x+6)+f(x)=2f(3)=0==>f(x+6)=-f(x)
f(x+6+6)=-f(x+6)=f(x)
∴f(x+12)=f(x)
即函数f(x)为周期是12的周期函数
∵f(4)=4
∴f(2012)=f(168*12-4)=f(-4)=-f(4)=-4

Answer 2

-4