Question

y=f(x)为R上的连续可导函数,当x≠0时,f'(x)+f(x)/x>0,求g(x)=f(x)+1/x的零点个数

Answer 1

g是不可能有零点的。个数为零。

分析：x>0时，已知条件就是在说： xf'(x) + f(x) = (xf(x))' >0，或者xf(x)是x的严格递增函数，由于
g(x) = [xf(x) + 1]/x，且xf(x) > 0f(0) = 0，所以
g(x) > 1/x对任何大于零的x成立，所以显然在x轴正半轴不可能有零点；
x<0时，已知条件就是在说 xf'(x) + f(x) < 0，或者xf(x)是x的严格递减函数，所以还是有
xf(x) > 0f(0) = 0 （x<0），也就是说，
g(x) = [xf(x) + 1]/x < [0f(0) + 1]/x = 1/x，（注意x是负的，所以不等号要变号）。此时1/x总是负数，小于1/x是不可能与x轴有交点的。
所以没有零点。

Answer 2

令f(x)=x即可