Question

如图,在正方形ABCD中,EF分别为BC、AB上两点，且BE=BF，

过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点M，延长线段AE、GH交于点M。求证：角BFC=角BEA AM=BG+GM

Answer 1

．
分析：（1）根据正方形的四条边都相等，AB=BC，又BE=BF，所以△ABE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；
（2）连接DG，根据正方形的性质，AB=AD，∠DAC=∠BAC=45°，AG是公共边，所以△ABG和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG，对应角相等∠2=∠3，因为BG⊥AE，所以∠BAE ∠2=90°，而∠BAE ∠4=90°，所以∠2=∠4，因此∠3=∠4，根据GM⊥CF和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2，在△ADG中，∠DGC=∠3 45°，所以DGM三点共线，因此△ADM是等腰三角形，AM=DM=DG GM，所以AM=BG GM．
解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBF中，
AB=BC
∠ABC=∠ABC
BE=BF
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BFC=∠BEA；

（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，
AB=AD
∠DAC=∠BAC=45°
AG=AG
，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG=DG，∠2=∠3，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE ∠2=90°，
∵∠BAD=∠BAE ∠4=90°，
∴∠2=∠3=∠4，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF ∠1=90°，
又∠BCF ∠BFC=90°，
∴∠1=∠BFC=∠2，
∴∠1=∠3，
在△ADG中，∠DGC=∠3 45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵∠3=∠4（已证），
∴AM=DM，
∵DM=DG GM=BG GM，
∴AM=BG GM．

Answer 2

证明：在正方形中，AB=BC BE=BF ∠ ABE=∠ CBF
∴ 三角形ABE≌三角形CBF ∴∠BFC=∠BEA

"延长线段AE、GH交于点M "有点问题，H从哪来的？