Question

已知f(x)=x2+px+q,求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于2分之1.

如题

Answer 1

用反证法：假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜均小于1/2
即 |1+p+q|<1/2 ; |4+2p+q|<1/2 ; |9+3p+q|<1/2
∴-1/2<1+p+q<1/2 (1)
-1/2<4+2p+q<1/2 (2)
-1/2<9+3p+q<1/2 (3)
(1)+(3): -1<10+4p+2q<1
-3<8+4p+2q<-1
-3/2<4+2p+q<-1/2
与（2）矛盾，所以假设不成立
∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于2分之1.

Answer 2

因为f(1)=1+p+q,f(2)=4+2p+q,f(3)=9+3p+q,所以f(1)+f(3)-2f(2)=2 再利用反证法，假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1/2 则有2＝|f(1)+f(3)-2f(2)|＜＝|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|＜2（利用绝对值不等式），这与题意相矛盾，故假设不成立，所以|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1/2
（2）假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于，
则，-1/2<｜f（1）|<1/2 ，-1/2<｜f（2）|<1/2 ，-1/2<｜f（3）|<1/2
∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由（1）可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
与-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立．