Question

线性代数的一个疑问

试图证明:实数域上的有限维向量空间不能写成有限个真子空间的并集.

具体地,用 R 表示实数域,令 V=R^n, 令 A_1 , ... , A_r 是 V 的真子空间,即不等于V的子空间.那么 A_1 , ... , A_r 的并集不等于V.

请问是不是一定成立呢?请证明或举反例.

注记:
(1) r=2时成立. 两个真子空间 A_1,A_2 的并显然不等于V.
(2) 估计实数域可以换成任意一个无限域(特别,任意一个特征零域).

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Answer 1

结论当然成立，并且确实可以推广到特征为零的域，还可以推广到无限维空间。
这个证明是纯代数的
记X_k = A_1 U A_2 U ... U A_k
用归纳法，显然X_1不覆盖V
假定已有X_{k-1}不能覆盖V，分三种情况考察X_k
1. A_k包含于X_{k-1}
2. X_{k-1}包含于A_k
这两种情况下显然X_k都不能覆盖V
3. X_{k-1}和A_k互不包含
取y属于X_{k-1}\A_k，z属于A_k\X_{k-1}，那么y+z不属于X_k

如果仅仅对于R^n来证明，甚至可以用体积
注意A_k和闭单位球的交集的体积为零（如果不知道测度也至少很容易用积分证明），若A_1 U A_2 U ... U A_r覆盖了R^n，则它们和单位球的交集的体积大于零

追问

谢谢你的帮忙!不过这里正是我不懂的:
>>>3. X_{k-1}和A_k互不包含
>>>取y属于X_{k-1}\A_k，z属于A_k\X_{k-1}，那么y+z不属于X_k

为什么 y+z 一定不属于X_{k-1}呢??请注意X_{k-1}不是子空间,所以关于加法不一定封闭.

例如,令V=R^2,令A_1,A_2,A_3分别是由(1,1),(1,0),(0,1)生成的一维子空间,
y=(1,0),z=(0,1)就符合上面的条件,但是它们的和属于A_1,从而属于X_2.

关于解析我只能算初学者.

追答

刚才写错了，应该是存在z属于A_k\X_{k-1}使得y+z不属于X_k
构造很容易，先任取z0属于A_k\X_{k-1}，那么z0, 2z0, ..., kz0中至少有一个可以作为满足要求的z，因为对A_i而言，最多只有一个常数a使得y+a*z0属于A_i，其直观的几何意义就是直线和超平面最多只有一个公共点（若没有包含关系）

Answer 2

不可以……
在线性代数里面
A²=A*A，是一个矩阵
现在只知道A的行列式是-2
所以不能
啊如果A是三阶方阵……A是三阶方阵也不能计算啊
因为行列式是一个通过计算得出来的数，而你计算A平方的时候是行乘列得出新的矩阵=
=