Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．

（1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长

能不能不用那个 余弦定理 ，因为我们没学

Answer 1

1、证明
∵等边△ABC
∴∠BAC＝∠ACB＝60
∴∠ACF＝180-∠ACB＝180-60＝120
∵CE平分∠ACF
∴∠ACE＝∠FCE＝∠ACF/2＝120/2＝60
∴∠ACE＝∠BAC
∵∠ADB＝∠CDE
∴△ABD∽△CED
2、解：过点E作EH⊥BF于H
∵△ABD∽△CED
∴CE/AB＝CD/AD
∵AD＝2CD
∴CD/AD＝1/2
∴CE/AB＝1/2
∵AB＝6
∴CE＝3
∵EH⊥BF，∠FCE＝60
∴EH＝CE×√3/2＝3√3/2,CH＝CE/2＝3/2
∵BC＝AB＝6
∴BH＝BC+CH＝6+3/2＝15/2
∴BE＝√（BH²+EH²）＝√（225/4+27/4）＝3√7

Answer 2

1、证明
∵等边△ABC
∴∠BAC＝∠ACB＝60
∴∠ACF＝180-∠ACB＝180-60＝120
∵CE平分∠ACF
∴∠ACE＝∠FCE＝∠ACF/2＝120/2＝60
∴∠ACE＝∠BAC
∵∠ADB＝∠CDE
∴△ABD∽△CED
2、解：过点E作EH⊥BF于H
∵△ABD∽△CED
∴CE/AB＝CD/AD
∵AD＝2CD
∴CD/AD＝1/2
∴CE/AB＝1/2
∵AB＝6
∴CE＝3
∵EH⊥BF，∠FCE＝60
∴EH＝CE×√3/2＝3√3/2,CH＝CE/2＝3/2
∵BC＝AB＝6
∴BH＝BC+CH＝6+3/2＝15/2
∴BE＝√（BH²+EH²）＝√（225/4+27/4）＝3√7

Answer 3

BE=6根3

追问

怎么得的？

追答

画图
60°的直角三角形

追问

不是，△ABC是等边三角形。
弄不上图，看这个http://zhidao.baidu.com/question/360049658.html

Answer 4

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；
（2）解：作BM⊥AC于点M，如图，AC=AB=6
∴AM=CM=3，BM=AB•sin60°= 33；
∵AD=2CD，∴CD=2，AD=4，MD=1；
在Rt△BDM中，BD= BM2+MD2= 27；
由（1）△ABD∽△CED得， BDED=ADCD， 27ED=2，
∴ED= 7，∴BE=BD+ED= 37．
－－－－－－－－
（1）由于△ABC是等边三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一组对顶角，两组对应角相等，可判定所求的两个三角形相似；
（2）由于△ABC是等边三角形，则AC=BC=6，由此可求出AC、CD的长；过B作BM⊥AC于M，根据等边三角形的性质知AM=MC，由此可求出MD、MB的长，进而可由勾股定理求出BD的长；根据（1）的相似三角形，可得出关于AD、CD，BD、DE的比例关系式，即可求出DE的长，从而由BE=BD+DE求出BE的长．
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