Question

数列｛an｝满足a1=1，a2=2，an=1/3(an-1+2an-2),(n=3,4,…..)。求数列｛an｝的通项公式。

Answer 1

由an=1/3(an-1+2an-2)得
an-a(n-1)=(-2/3)(a(n-1)-a(n-2))
令bn=a(n+1)-an则，
bn为公比为-2/3的等比数列且b1=a2-a1=1
故bn=(-2/3)^(n-1)
所以an-a(n-1)=b(n-1)=(-2/3)^(n-2)
依此类推a(n-1)-a(n-2)=(-2/3)^(n-3)
……
a3-a2=-2/3
所以各式相加得an-a2=-2/3+(-2/3)^2+……+(-2/3)^(n-2)
=[-2/3-(-2/3)^(n-2)*(-2/3)]/[1-(-2/3)]
=-2/5-3/5*(-2/3)^(n-1) n>=2
所以an=2-2/5-3/5*(-2/3)^(n-1) n>=2
因为a1=2-2/5-3/5*=1也成立
所以 an=2-2/5-3/5*(-2/3)^(n-1)

Answer 2

就这样了