Question

数学二项式定理的题

(2x+4)的2010次方=a0+a1x+a2x+…+a2010x的2010次方，则a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是？答案2

Answer 1

根据二项式定理
(2x+4)的2010次方=a0+a1x+a2x+…+a2010x的2010次方——（1）
（1）中令x=1
则6^2010=a0+a1+a2+…+a2010——（2）
（1）中令x=-1
则2^2010=a0-a1+a2-a3…+a2010——（3）
（2）+（3）
6^2010+2^2010=2（a0+a2+a4+…+a2010）
2^2010*3^2010+2^2010=2（a0+a2+a4+…+a2010）
2^2009*3^2010+2^2009=（a0+a2+a4+…+a2010）
3*(2^2009*3^2009)+4^1004*2=（a0+a2+a4+…+a2010）
3*(2^2009*3^2009)+(3+1)^1004*2=（a0+a2+a4+…+a2010）
3*(2^2009*3^2009)+(3^1004+1004*3^1003+...+1004*3+1)*2=（a0+a2+a4+…+a2010）
3*(2^2009*3^2009)+3(3^1003+1004*3^1002+...+1004)*2+2=（a0+a2+a4+…+a2010）
所以a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是2

Answer 2

根据二项式定理
(2x+4)的2010次方=a0+a1x+a2x+…+a2010x的2010次方——（1）
（1）中令x=1
则6^2010=a0+a1+a2+…+a2010——（2）
（1）中令x=-1
则2^2010=a0-a1+a2-a3…+a2010——（3）
（2）+（3）
6^2010+2^2010=2（a0+a2+a4+…+a2010）
2^2010*3^2010+2^2010=2（a0+a2+a4+…+a2010）
2^2009*3^2010+2^2009=（a0+a2+a4+…+a2010）
3*(2^2009*3^2009)+4^1004*2=（a0+a2+a4+…+a2010）
3*(2^2009*3^2009)+(3+1)^1004*2=（a0+a2+a4+…+a2010）
3*(2^2009*3^2009)+(3^1004+1004*3^1003+...+1004*3+1)*2=（a0+a2+a4+…+a2010）
3*(2^2009*3^2009)+3(3^1003+1004*3^1002+...+1004)*2+2=（a0+a2+a4+…+a2010）
所以a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是2

Answer 3

根据二项式定理

(2x+4)的2010次方=a0+a1x+a2x+…+a2010x的2010次方 ①
①中令x=1，则
6^2010=a0+a1+a2+…+a2010 ②
①中令x=-1，则
2^2010=a0-a1+a2-a3…+a2010 ③
②+③，得
6^2010+2^2010=2×(a0+a2+a4+…+a2010)
即，2^2010×3^2010+2^2010=2(a0+a2+a4+…+a2010)
2^2009×3^2010+2^2009=（a0+a2+a4+…+a2010）
3×(2^2009×3^2009)+4^1004×2=（a0+a2+a4+…+a2010）
3×(2^2009×3^2009)+(3+1)^1004×2=（a0+a2+a4+…+a2010）
3×(2^2009*3^2009)+(3^1004+1004×3^1003+...+1004×3+1)×2=（a0+a2+a4+…+a2010）
3×(2^2009*3^2009)+3×(3^1003+1004*3^1002+...+1004)×2＋2=（a0+a2+a4+…+a2010）

因为，前面的两项都有因数3
所以，a0+a2+a4+…+a2010被3除的余数是2