Question

xy都大于等于1，求证x+y+1/xy小于等于1/x+1/y+xy

Answer 1

x+y+1/(xy)-1/x-1/y-xy
=(x²y+xy²+1-y-x-x²y²)/(xy)
=[(x²y-x)+(xy²-y)-(x²y²-1)]/(xy)
=[x(xy-1)+y(xy-1)-(xy+1)(xy-1)]/(xy)
=(xy-1)(x+y-xy-1)/(xy)
=(xy-1)[(x-xy)+(y-1)]/(xy)
=(xy-1)[-x(y-1)+(y-1)]/(xy)
=(xy-1)(y-1)(1-x)/(xy)
由x>1 y>1 得xy>1 xy-1>0；y-1>0；1-x<0，xy>0
(xy-1)(y-1)(1-x)/(xy)<0
x+y+1/(xy)<1/x+1/y+xy，不等式成立。

Answer 2

解：当X=y=1时，显然有x+y+1/xy=3=1/x+1/y+xy，问题成立。
当x和y二者中有一个数等于1（如x=1），另一数大于1（这是必须的）时有：x+y+1/xy=1+y+1/y=1/x+1/y+xy,问题成立。
当x和y两个个数都大于1时，有xy大于x+y，1/x大于1/xy，1/y大于x1/xy,故1/x+1/y大于1/xy.故此时必有x+y+1/xy 一定小于1/x+1/y+xy，问题成立。
由以上可知，当x和y都大于等于1，x+y+1/xy小于等于1/x+1/y+xy成立，证毕。
(我认为题目的条件xy都大于等于1一定应是x和y都大于等于1的）