Question

已知在实数R上的可导函数f(x),满足f(x+1)是奇函数，且当x>=1时，f'(x)分之一>1,则不等式f(x)>x-1的解集是？

Answer 1

有当x>=1时，1/f'（x）＞1得：当x>=1时，0＜f'（x）＜1
设x1＜x2＜1，则2-x1＞2-x2＞1
f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=-f（-x+1），得f（x）=-f（2-x），f（1）=0
于是f（x1）-f（x2）=-f（2-x1）+f（2-x2）＜0
于是当x∈（-无穷，1）时f（x）也是增函数，f（1）=0
所以f（x）在x∈R上式增函数
令g（x）=f（x）-x+1
g'（x）=f'（x）-1＜0
于是g（x）是减函数，g（1）=f（1）-1+1=0
于是g（x）＞0的解为x＜1

Answer 2

实数R上的可导函数f(x),满足f(x+1)是奇函数,f(x+1)=-f(-x-1),f(x)=-f(-x-2)=f(x+2),所以f(x)是周期为2的函数，得出f(1)=f(3)；当x>=1时，f'(x)分之一>1，得出f(x)>1，所以，当.2>x>=1时,f(x)>x-1,x-1<1d得出x<2,所以2>x>=1