Question

已知函数f(x)=x^3-3x+1,g(x)= -(x+3)^2+1(x≤0),则方程g[f(x)]=a ( a为正实数)的实数根有多少

Answer 1

解：由已知得g[f(x)]= -(f(x)+3)^2+1=a>0且f(x)=x^3-3x+1≤0
得(f(x)+3)^2=1-a，所以
当a>1时，方程无实根；
当0<a≤1时，因为f(x)≤0且0≤1-a<1得f(x)+3=-√（1-a）即设h(x)=x^3-3x+4+√（1-a）=0
对h(x)求导得h‘(x)=3x^2-3=0得极值为x=±1，极大值h(-1)=6+√（1-a）>0,极小值h(1)=2+√（1-a）>0,作出图像可见与x轴只有1个交点，即只有一个实根。
综上所得，
当0<a≤1时，方程只有一个实根；
当a>1时，方程无实根。

Answer 2

通过画图并分析可以得到如下结论（实在没时间画，自己画个吧）：
a>5/4,有1个;a=5/4,有2个;1<a<5/4,有6个;a=1,有5个;0<a<1,有4个。

这是今天老师上课说的，应该不会有错

Answer 3

应该是根据a讨论个数吧！