Question

设a>0,且a不等于1,f(x)=a^x+a^-x,g(x)=a^x-a^-x,f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求x,y

Answer 1

设a>0，且a≠1；f(x)=a^x+a^(-x)，g(x)=a^x-a^(-x)，f(x)f(y)=8，g(x)g(y)=4，求x、y。
(原题无解，故作了修改；理由在后面解释).
解：f(x)f(y)=[a^x+a^(-x)][a^y+a^(-y)]=a^(x+y)+a^(-x+y)+a^(x-y)+a^(-x-y)=8.............(1)
g(x)g(y)=[a^x-a^(-x)][a^y-a^(-y)]=a^(x+y)-a^(-x+y)-a^(x-y)+a^(-x-y)=4..............(2)
(1)+(2)得2a^(x+y)+2a^(-x-y)=12，故得a^(x+y)+1/a^(x+y)=6，去分母得：
a^[2(x+y)-6a^(x+y)+1=0，故a^(x+y)=(6±√32)/2=(6±4√2)/2=3±2√2=(√2±1)²
∴a=√2±1，x+y=2..........(3)；
(1)-(2)得2a^(-x+y)+2a^(x-y)=4
[注：按原题此处=-4，无解；因为a^u>0，两个正数之和不可能为负数]
即有a^(-x+y)+1/a^(-x+y)=2，去分母得a^[2(-x+y)-2a(-x+y)+1=[a^(-x+y)-1]²=0
故a^(-x+y)=1，∴-x+y=0，得x=y；代入(3)即得x=y=1.
检验：用x=y=1代入原式得f(x)f(y)=(a+1/a)²=8，故a+1/a=2√2.........①
g(x)g(y)=(a-1/a)²=4，故a-1/a=2..........② 或 a-1/a=-2............③
①+②得2a=2+2√2，故a=1+√2；①+③得2a=2√2-2，此时a=√2-1；