Question

在线等 设函数f(x)= -1/3x^3+2ax^2-3a^2x+a/3(0<a<1)求函数f(x)的单调区间

第二问 若当x属于【a,2】时 恒有f(x)<=0是确定a的取值范围

Answer 1

f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-a)(x-3a)>0时，为增，
即(x-a)(x-3a)<0为增
为0<a<1, 所以a<3a
所以a<x<3a时为增。
当x<=a及x>=3a为减。

xE[a,2] f(x)<=0
当2<=3a时，即1>a>=2/3时,xE[a,2]时,f(x)为增，
其最大值为f(2)=-1/3*8+2a*4-3a^2*2+a/3=-8/3+8a-6a^2+a/3=-6a^2+25a/3-8/3
要使f(x)<=0，必须最大值f(2)<=0
即：-6a^2+25a/3-8/3<=0
18a^2-25a+8>=0
(2a-1)(9a-8)>=0
a<=1/2 or a>=8/9
又1>a>=2/3,
联立，即8/9<=a<1时，恒有f(x)<=0

a<x<3a时为增。x<=a及x>=3a为减。
当2>3a时，当x=3a时，取最大值。
其最大值为f(3a)=-1/3*9a^3+2aa^2-3a^2*a+a/3=-3a^3+2a^3-3a^3+a/3=-4a^3+a/3
要使f(x)<=0，必须最大值f(3a)<=0
即：-4a^3+a/3<=0
12a^3-a>=0
a(12a^2-1)>=0
12a^2>=1
a>=根号6/2 or a<-根号6/2，这两个都与0<a<1不合，舍去。
8/9<=a<1时，恒有f(x)<=0

以上方法正确，你自已验算一下。

Answer 2

先对函数求导，得出单调区间分界点为a,3a
(-%，a)递减
（a,3a)递增
(3a，+无穷）递减
第二问 当0<a<2/3,f(3a)<=0;（1）
当2/3<=a<1时，f(2)小于等于0 （2）
（1）（2）的交集就是a的取值范围

追问

我就是不会算，你帮我写一下具体步骤好吗？