利用极限存在准则证明lim┬(n→∞)〖n(1/(n^2+π)+1/(n^2+2π)+⋯+1/(n^2+nπ))=1〗 5
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令 u(n) = n(1/(n^2+π)+1/(n^2+2π)+⋯+1/(n^2+nπ))
则： n * [ n / (n² + nπ) ] ≤ u(n) ≤ n * [ n / (n² + π) ]
而 lim( n->∞) n * [ n / (n² + nπ) ] = lim(n->∞) n * [ n / (n² + π) ] = 1
由 迫敛准则，即得
lim(n->∞) u(n) = 1.
则： n * [ n / (n² + nπ) ] ≤ u(n) ≤ n * [ n / (n² + π) ]
而 lim( n->∞) n * [ n / (n² + nπ) ] = lim(n->∞) n * [ n / (n² + π) ] = 1
由 迫敛准则，即得
lim(n->∞) u(n) = 1.
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1/(n^2 + n*pi) <= 1/(n^2 + k*pi) <= 1/n^2， 对于1 <= k <= n
记极限号里面的为An，则由上式
n^2 / (n^2 + n*pi) <= An <= n^2/n^2
即n/ (n + pi) <= An <= 1
由夹逼原理知An的极限为1
记极限号里面的为An，则由上式
n^2 / (n^2 + n*pi) <= An <= n^2/n^2
即n/ (n + pi) <= An <= 1
由夹逼原理知An的极限为1
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