Question

若2^(1/x)>x^a对任意x属于(0,1)恒成立，则实数a的取值范围是__

为了公平起见我还是选先回答的那位吧，不过也很感谢“zhangshiming33”

Answer 1

2^（1/x) >x^a （取对数）
即 (1/x)ln2>alnx
∵x∈(0,1)∴lnx<0
∴a>ln2/(xlnx) 对任意x∈(0,1)恒成立
设y=ln2/(xlnx), 则实数a需满足a>y的最大值
y'=ln2(-lnx-1)/(xlnx)²=-ln2(lnx+1)/(xlnx)²
∵ 0<x<1/e时，y'>0，y递增
1/e<x<1时，y'<0，y递减
∴ x=1/e时，y有最大值=ln2/(-1/e)=-eln2
∴实数a的取值范围 是a>-eln2

Answer 2

2^(1/x)>x^a
(1/x)ln2>alnx,
x属于(0,1)
axlnx/ln2<1
设f(x)=axlnx/ln2
f`(x)=a/ln2+alnx/ln2
当f`(x)=0时
x=1/e
即f(1/e)为f(x)的最小值
f(1/e)=-a/eln2
a>-eln2即a>-1.88