Question

数列{an}满足的前n项和Sn=2n-an，n∈N* （1）计算数列{an}的前4项； （2）猜想an的表达式，并证明；

Answer 1

(1)
S1=a1=2-a1 2a1=2 a1=1
S2=a1+a2=1+a2=4-a2 2a2=3 a2=3/2
S3=a1+a2+a3=1+ 3/2 +a3=6-a3 2a3=7/2 a3=7/4
S4=a1+a2+a3+a4=1+3/2+7/4+a4=8-a4 2a4=15/4 a4=15/8
(2)
变形：a1=1=2^0/2^0，a2=3/2=(2^0+2^1)/2^1，a3=7/4=(2^0+2^1+2^2)/2^2
a4=15/8=(2^0+2^1+2^2+2^3)/2^3
猜想：an=[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)]/2^(n-1)=[(2^n -1)/(2-1)]/2^(n-1)=2- 1/2^(n-1)。
证：
a1=2-1/2^0=2-1=1，与第(1)问计算结果相符，表达式成立。
假设当n=k(k自然数，且大于等于1)时，表达式成立，即ak=2- 1/2^(k-1)，则当n=k+1时，
S(k+1)=2(k+1)-a(k+1)
Sk=2k-ak
S(k+1)-Sk=a(k+1)=2(k+1)-a(k+1)-2k+ak
2a(k+1)=2+ak=2+2-1/2^(k-1)=4-1/2^(k-1)
a(k+1)=2-1/2^k=2- 1/2^[(k+1)-1]，表达式同样成立。
综上，得数列{an}的通项公式为an=2- 1/2^(n-1)。

Answer 2

S1=a1
S1=2*1-a1——＞a1=1
S2=a1 a2
S2=2*2-a2——＞a2=1.5
S3=a1 a2 a3
S3=2*3-a3——＞a3=1.75
S4=a1 a2 a3 a4
S4=2*4-a4——＞a4=1.875
（2）.由上结论可猜想
an=[(2的n次方)-1]/[2的(n-1次方)]