Question

求微分方程y”=y'+x的通解

Answer 1

y”=y'+x
y”-y'=x
齐次的特征方程
r^2-r=0
r=1,r=0
齐次通解
y=C1e^x+C2
设特解为
y=ax^2+bx+c
y'=2ax+b
y''=2a
代入得
2a-(2ax+b)=x
2a=-1,2a-b=0
a=-1/2,b=-1
C待定
所以特解是
y=-1/2x^2-1x+C
因此非齐次通解是
y=C1e^x+C2-1/2x^2-1x+C

Answer 2

y''--y'=0的特征根是0和1，通解是y=C1+C2e^x。
y''--y'=x的特解设为y=ax^2+bx+c，代入得2a--(2ax+b)=x，于是a=--0.5，b=--1，特解为y=--0.5x^2--x。
因此通解是y=C1+C2e^x--0.5x^2--x。