Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）在抛物线C上是否存在点...

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

（Ⅰ）设抛物线C的方程是x2=ay，
则a4=1，
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x2=4y．
（Ⅱ）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则抛物线C在点P处的切线方程是y=x12x-y1，
直线PQ的方程是y=-2x1x+2+y1．
将上式代入抛物线C的方程，得x2+8x1x-4(2+y1)=0，
故x1+x2=-8x1，x1x2=-8-4y1，
所以x2=-8x1-x1，y2=4y1+y1+4．
而FP→=（x1，y1-1），FQ→=（x2，y2-1），FP→×FQ→=x1x2+（y1-1）（y2-1）
=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1
=-4（2+y1）+y1（4y1+y1+4）-（4y1+2y1+4）+1
=y12-2y1-4y1-7
=（y12+2y1+1）-4（1y1+y1+2）
=（y1+1）2-4(y1+1)2y1
=(y1-4)(y1+1)2y1=0，
故y1=4，此时，点P的坐标是（±4，4）．
经检验，符合题意．
所以，满足条件的点P存在，其坐标为P（±4，4）．

Answer 2

（Ⅰ）设抛物线C的方程是x²=ay，
a／4=1，a=4．
故所求抛物线C的方程为x²=4y．
（Ⅱ）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则抛物线C在点P处的切线方程是y=x1／2x-y1，
PQ；y=-2／x1x+2+y1．
联立
x²+8／x1x-4(2+y1)=0，
x1+x2=-8／x1，x1x2=-8-4y1，
x2=-8／x1-x1，y2=4／y1+y1+4．
FP=（x1，y1-1），FQ=（x2，y2-1），
∵PF⊥QF
∴FP×FQ=x1x2+（y1-1﹚（y2-1）
=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1
=-4（2+y1）+y1（4／y1+y1+4）-（4／y1+2y1+4）+1
=y12-2y1-4／y1-7
=（y12+2y1+1）-4（1／y1+y1+2）
=（y1+1）²-4(y1+1)²／y1
=(y1-4)(y1+1)²／y1=0，
故y1=4，此时，点P的坐标是（±4，4）．
经检验，符合题意．
所以，满足条件的点P存在，其坐标为P（±4，4）．