Question

急！！！！！！数学达人请进，恳请帮忙详细解释一道数列选择题的答案，悬赏分再加加加，谢谢，辛苦了！！

接上：
如题：已知各项均不为零的数列{a[n]}，定义向量C[n]=(a[n],a[n+1]),向量b[n]=（n,n+1),n∈正整数，则下列命题中为真命题的是（）

A.若对于任意n∈正整数总有向量C[n]平行向量b[n]成立，则数列{a[n]}是等差数列

B.若对于任意n∈正整数总有向量C[n]平行向量b[n]成立，则数列{a[n]}是等比数列

C.若对于任意n∈正整数总有向量C[n]垂直向量b[n]成立，则数列{a[n]}是等差数列

D.若对于任意n∈正整数总有向量C[n]垂直向量b[n]成立，则数列{a[n]}是等比数列

PS：“[ ]”内的为下标，该题答案为A, 恳请数学高手帮忙详细解释其解题过程，其他各项为什么不对？根据回答的具体程度再额外追加悬赏分5~50，O(∩_∩)O谢谢，辛苦了！！！

Answer 1

A：因为向量C[n]平行向量b[n]，所以有a[n+1]/a[n] = (n+1)/n
a[n]/a[n-1] = n/(n-1)
a[n-1]/a[n-2] = (n-1)/(n-2)
......
a[2]/a[1] = 2/1
以上所有式子左右两边相乘得a[n+1] = (n+1)a[1]
同理可得 a[n] = na[1]
因此a[n+1]-a[n] = a[1]
即数列的任意相邻两项之差为常数a[1]
即数列{a[n]}为等差数列
B：因为由这个已知条件只能推知数列{a[n]}为等差数列，不知道是否为等比数列，只有当a[1]=1的时候才是等比数列，因此B错误。
因为D更易理解，所以我先帮你解释一下D选项
D：因为向量C[n]垂直向量b[n]，所以有a[n+1]/a[n] = -n/(n+1)，若{a[n]}为等比数列的话，那么 a[n+1]/a[n]应该为常数，而-n/(n+1)明显不是常数，所以D错误。
C：若{a[n]}为等差数列的话，那么（ a[n+1] - a[n] ） 应该为常数，要证明{a[n]}不为等差数列，即需要证明（ a[n+1] - a[n] ） 不为常数即可。
证明：因为向量C[n]垂直向量b[n]，所以有a[n+1]/a[n] = -n/(n+1)
a[n]/a[n-1] = -(n-1)/n
a[n-1]/a[n-2] = -(n-2)/(n-1)
......
a[2]/a[1] = -1/2
以上所有式子左右两边相乘得，此时有两种情况：
（1） 当n为偶数时a[n+1] = a[1]/(n+1)
a[n] = -a[1]/n
所以a[n+1] - a[n] =[1/n + 1/(n+1)] / a[1]，不为常数
即此时{a[n]}不为等差数列
（2） 当n为奇数时a[n+1] = -a[1]/(n+1)
a[n] = a[1]/n
所以a[n+1] - a[n] = -[1/n + 1/(n+1)] / a[1]，也不为常数
即此时{a[n]}也不为等差数列
因此，C选项也错误。

如果还不明白的话欢迎追问，乐意解答！

追问

O(∩_∩)O谢谢阁下的解答，亲~您的回答太棒了！！！您太好了！！！抱歉，前几天都在测试，晚回复了...鄙人对数列通项的求法不太熟悉，虽然老师跟我解释了。不过下次再遇到类似的话，又不会了。上面的解答，您用的是累乘法吧，不过我的基础薄弱了，累乘法也不怎么懂，当约去相同的项时，怎样确定等式左边最后该留下哪一项，等式右边的项数有多少个？最后的结果是什么?这其中要代数进去算算吗？请问您能解释解释吗？O(∩_∩)O谢谢

追答

我给你解释一下A是如何消去的吧，其他的类似。因为我觉得打字不够形象，所以帮你写了一下。其实就是这种很多项相乘然后消去的情况，我觉得如果你担心错的话就像我如图这样写一下，把两头的项都各写几项，然后按照从左往右的顺序逐项消，一次消两个，基本上很快就能看出来消掉的是什么，然后就知道最后会留下哪项了。至于代数进去我觉得就是可以检查一下，确保结果正确。而且，我觉得你不要觉得自己如果再遇到的话基本就不会了，像这个东西你一次性多做几道类似的题，最重要的是动笔做，不要光看解析什么的，做了几次肯定就会找到感觉的。数学这个东西，尤其是在考试中，讲究的就是熟能生巧，熟悉了自己就不会紧张了，就不会担心这个担心那个了。所以基本上所有不熟悉的东西在多练之后都会熟悉的，多动笔算算就好了，相信自己，你能行的！

追问

O(∩_∩)O谢谢您温馨，详尽的解答，还有您具体可行的建议！！！我请教过老师了，不过还没有您这般耐心，的╮(╯▽╰)╭
您的数学功底真够雄厚的，人品太棒了，顺便麻烦您帮我解答：http://zhidao.baidu.com/question/405010604.html?quesup2&oldq=1这道题（我还没有找到最佳的解答），O(∩_∩)O谢谢，辛苦了！！！到时一同采纳好了(*^__^*) …….

Answer 2

若对于任意n∈正整数总有向量C[n]平行向量b[n]成立: 则两个向量中，纵坐标与横坐标成比例。
则a(n)/n=a(n+1)/(n+1)
这说明a1/1=a2/2=a3/3=a4/4=................=an/n
an/n=a1为常数。
an=a1n
a(n+1)-an=a1(n+1)-a1n=a1
它是以a1为公差的等差数列。

Answer 3

已知各项均不为零的数列程{an}，定义向量cn=（an，an+1），bn=（n，n+1），n∈N*．下列命题中真命题是（）

A．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列B．若∀n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等比数列 

C．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列 

D．若∀n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列 

于是an=na1，

故选A

Answer 4

A:若对于任意n∈正整数总有向量C[n]平行向量b[n]成立，那不就是a[1]/1=a[2]/2=...=a[n]/n...，那么a[n]=n*a[1],不就是等差数列了吗！;
B:有了A的分析，B显然就错了嘛，例如a[n]=n;
C:若对于任意n∈正整数总有向量C[n]垂直向量b[n]成立,那么n*a[n]=(n+1)*a[n+1],
所以，n*a[n]=a[1]*(-1)^(n-1)，那么a[n]=(a[1]*(-1)^(n-1))/n,这个数列，显然不一定是等差数列啊！；
D:有了C的分析，也可以知道，a[n]不一定是等比数列。
希望楼主采纳！

Answer 5

由向量平行可设：an=kn，a(n+1)=k(n+1) 两式相减得：a(n+1)-an=k（常数），所以是等差数列
由向量垂直可得：nan+(n+1)a(n+1)=0,即a(n+1)/an= -n/(n+1) 显然不是常数，自然也就不可能是等比数列

追问

O(∩_∩)O谢谢，a(n+1)/an= -n/(n+1) 显然不是常数?我判断不了ing

追答

因为在-n/(n+1)这个式子中，n可以取1,2,3，.........是一个可以变得结果

Answer 6

因为c[n]平行于b[n]
所以(n+1)*a[n]=n*a[n+1]
所以a[n+1]/a[n]=(n+1)/n
(a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n-2])....(a[2]/a[1])=a[n]/a[1]=n
所以a[n]=n*a[1](因为a[1]为不等零的常数）
所以{a[n]}是等差数列
所以A对，B错
至于垂直同理可证