Question

如图在正方形ABCD内有一折线段,其中AE⊥EF,EF⊥FC并且AE=6,EF=8,FC=10,求正方形边长

八年级下浙教版数学方法学习指导丛书里的P89页

Answer 1

解：连接AC，交EF于点M

∵AE丄EF，EF丄FC，

∴∠E=∠F=90°，

∵∠AME=∠CMF，

∴△AEM∽△CFM，

∴AE CF =EM FM ，

∵AE=6，EF=8，FC=10，

∴EM FM =6 10 =3 5 ，

∴EM=3，FM=5，

在Rt△AEM中，AM= AE2+EM2 =3 5 ，

在Rt△FCM中，CM= CF2+FM2 =5 5 ，

∴AC=8 5 ，

在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8 5 • 2  2 =4 10 ，

∴S正方形ABCD=AB2=160，

圆的面积为：π•（8 5  2 ）2=80π，

∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π-160．

故答案为：80π-160．

Answer 2

连接AC 交FE于O
因为AE⊥EF，EF⊥FC
则AE∥FC
则 ∠AEO=∠OCF
则△AEO与△OFC 都是直角三角形
则△AEO∽△OFC
则AE/CF=EO/OF 而OE+OF=8
则可求得 OE=3 OF=5
则由勾股定理得 AO=3√5 OC=5√5
即正方形对角线长=AO+OC=8√5
所以，正方形边长=8√5/√2=4√10

追问

你用的是相似吗？

追答

是的，你还没学吗

Answer 3

解析:连接AC,交EF于M,
∵AE⊥EF,EF⊥FC,
∴∠E=∠F=90°
∵∠AME=∠CMF
∴△AEM∽△CFM
∴ AE:FC=EM:MF,
∵AE=6,EF=8,FC=10
∴ 6:10=EM:FM,
又∵EF=8
∴EM=3,FM=5
在Rt△AEM中, 可求AM=3倍根号5
在Rt△FCM中, 可求MC=5倍根号5
∴ AC=8倍根号5
所以外接圆直径为8倍根号5
所以正方形的面积为：1/2*（8根号5）平方=160
圆的面积为：π（8根号5/2）平方=80π
所以阴影部分面积为80π-160

Answer 4

连接AC 过A做AM垂直CF于M
易得四边形AEFM是矩形
所以CM=16，AM=8
设正方形边长为a
则有2（a）2=（16）2+（8）2
所以（a）2=160，所以a=4√10（这就不需要用到相似）

Answer 5

连接AC 交FE于O
因为AE⊥EF，EF⊥FC
则AE∥FC
则 ∠AEO=∠OCF
则△AEO与△OFC 都是直角三角形
则△AEO∽△OFC
则AE/CF=EO/OF 而OE+OF=8
则可求得 OE=3 OF=5
则由勾股定理得 AO=3√5 OC=5√5
即正方形对角线长=AO+OC=8√5
所以，正方形边长=8√5/√2=4√10