Question

三角形ABC中，A+C=2B，且1/cosA+1/cosC=-√2/cosB，求cos（A－C）／2

不要用积化和差和差化积做，我们老师说有一种简便方法,用角度之间的转化怎么做

Answer 1

解：∵A B C依次成等差数列
∴2B=A+C
∴3B=180°
∴B=60°
∴A+C=120°

1/cosA +1/cosC=-√2/cosB
∴(cosA+cosC)/cosAcosC=√2cos(A+C)带入A+C=120°
∴(cosC+cosA)/cosCcosA=-2√2
∴2cos[(A+C)/2][cos(A-C)/2]=-√2[cos(A+C)+cos(A-C)]带入A+C=120°
∴cos[(A-C)/2]=-√2[cos(A+C)+cos(A-C)]
化简cos(A-C)=2(cos[(A-C)/2])^2-1带入上式
化简全式
∴2(cos[(A-C)/2])^2 +cos[(A-C)/2] -(3√2)/2=0

把此方程看作是关于cos[(A-C)/2]的一元二次方程,可得到两个根。
cos[(A-C)/2]=(-3√2)/4
cos[(A-C)/2]=√2/2
因为A.C是锐角,(A-C)/2也是锐角,所以cos[(A-C)/2]>0
所以舍去第一个根，
所以，cos[(A-C)/2]=√2/2

Answer 2

三角形ABC中，A+C=2B，

得：B=60, A+C=120

1/cosA+1/cosC=-√2/cosB =-2√2

cosA+cosC=-2√2cosAcosC
（左边用和差化积，右边用积化和差）

2cos[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]=-√2[cos(A+C)+cos(A-C)]

cos[(A-C)/2]=-√2[-1/2+cos(A-C)]

=-√2{2[cos(A-C)/2]^2-3/2}

令：cos[(A-C)/2]=t

则：t=-√2{2t^2-3/2}

解得：t=√2/2

追问

不要用和差化积积化和差做，我们老师说有简便方法，但是忘了

追答

不会……

追问

我终于知道怎么做了，令·Q=(A-C)/2，A=60+Q，C=60-Q 不过还是谢谢了

Answer 3

就是要先求出X的呀