Question

已知函数f(x)=x^2-(2a+1)x+alnx,当a=1时，（1）求函数f(x)的单调增区间（2）求函数f(x)在区间[1,e]上的最小

值；（3）设g(x)=(1-a)x,若存在x0属于[1/e,e],使得f(x0)>=g(x0)成立，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）[f'[x] >= 0
f'[x] < 0
单调增、 单调减区间分别为 0 < x <= 1/2 || x >= 1； x < 0 || 1/2 < x < 1
（2）由（1）可知，[1,e]上函数图象单调增
fmin = f[1]=-2
fmax = f[E]=1 - 3 e+ e^2
(3)化简得a>=(4 x - x^2 - Log[x])/x，即是求不等号右侧表达式在区间[1/e，e]上的最大值。
求解结果是在1/e点出取得最大值：e-1/e+4,因此a>=e-1/e+4

Answer 2

令x2-（a+2）x+alnx≥0在[
1e，e]上有解．
即x2-2x≥a（x-lnx），由于x-lnx在[
1e，e]上为正数
∴问题转化为a≤
x2-2xx-lnx在[
1e，e]上有解
令h（x）=x2-2xx-lnx，下求此函数在[
1e，e]的最大值
由于当x＜2时，h（x）为负，下研究h（x）在（2，e）上的单调性，
由于h′（x）=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2＞0成立，所以h（x）=x2-2xx-lnx在（2，e）上是增函数，又h(e) =
e2-2ee-1＞0
所以h(x)max=
e2-2ee-1
故实数a的取值范围为a≤
e2-2ee-1