Question

求y=x^2与y=x绕x轴旋转所得旋转体的体积。

Answer 1

y=x^2和x=1相交于（1，1）点，
绕X轴旋转所成体积V1=π∫（0→1）y^2dx
=π∫（0→1）x^4dx
=πx^5/5(0→1)
=π/5.
绕y轴旋转所成体积V2=π*1^2*1-π∫（0→1）(√y)^2dy
=π-πy^2/2（0→1）
=π/2.
其中π*1^2*1是圆柱的体积，而π∫（0→1）(√y)^2dy是抛物线y=x^2、y=1、x=0围成的图形绕Y轴旋转的体积。

Answer 2

解：所求体积=∫<0,1>π[x²-(x²)²]dx
=π∫<0,1>(x²-x^4)dx
=π(x³/3-x^5/5)│<0,1>
=π(1/3-1/5)
=2π/15。