Question

一道排列组合数学题

有6个人站成前后两排，每排3人，若甲乙两人左右、前后都不相邻，则不同的站法种数为？麻烦详细说明下，不要只给个答案…

Answer 1

如图所示，6个人站成前后两排，若甲乙两人左右或者前后相邻，共有7种方式，此时其他4人的站法为P4（即4人完全排列）=4！。

而6个人站6个位置的总站法为P6=6！

所以若甲乙两人左右、前后都不相邻，则不同的站法种数为 总站法-甲乙两人左右或者前后相邻的站法 = 6！-4！=552种

Answer 2

设这6人为甲，乙，其它四人
当甲在前排左边位，
则乙只能在前排右边及后排中间和右边
他站法的可能性为P(1,3) 1在上，3在下 （下同）
其它人为P(4,4）
则六人站法的可能性为P(1,3)*P(4,4) ----（1）
同理，甲在前排右边位，可能性为P(1,3)*P(4,4) -----（2）

当甲在前排中间位，则乙只能在后排左边和右边
他站法的可能性为P(1,2) 其它人为P(4,4）
则六人站法的可能性为P(1,2)*P(4,4) ----（3）

所以当甲在前排时，站法种数为（1）+（2）+（3）
P(1,3)*P(4,4) +P(1,3)*P(4,4) +P(1,3)*P(4,4)

同理， 当甲在后排时，站法种数与甲在前排时一样

因此，总的站法总数为; 2*[P(1,3)*P(4,4) +P(1,3)*P(4,4) +P(1,3)*P(4,4)]
=2*[P(1,3)+P(1,2)+P(1,3)]*P(4,4)
=2*(3+2+3)*4*3*2*1
=384

Answer 3

两人在一排有两种可能（都在前排或都在后排），不相邻就都只能在两边有如下排列：
2x2x（4x3x2x1）=96
不在同一排，先安排甲，有3种排法，接下来排列乙，因为前后不相邻，就只剩下2种了，总排列有：2x（3x2）x（4x3x2x1）=288
总共有96+288=384

Answer 4

1/2/3
4/5/6
甲站在中间
甲站2或5乙有两个位置可以选择 ,剩余4人全排列所以情形数为C2 1*C 2 1*A4 4= 96
甲站在边缘
甲有1346四种选择乙有三种选择剩余4人全排列所有情形数为C4 1*C3 1*A4 4=288
相加所以共有C2 1*C 2 1*A4 4+C4 1*C3 1*A4 4= 384