Question

一道高中向量数学题

已知平面向量OA,OB,OC满足:OA=OB=OC 向量OA⊥OB，向量OA=xOC+yOB，则x+y取值范围？

Answer 1

因为OA=OB=OC，向量OA⊥OB
所以建立直角坐标系，设O(0，0)，A(a，0)，B(0，a)，C(acosθ，asinθ)（a>0）
所以向量OA=(a，0)，向量OB=(0，a)，向量OC=(acosθ，asinθ)
因为向量OA=xOC+yOB
所以a=xacosθ ①
0=xasinθ+ya ②
由①知x=1/cosθ（cosθ≠0）
由②知y=-xsinθ=-tanθ
所以x+y=1/cosθ-tanθ=(1-sinθ)/cosθ=(1-sinθ)/[0-(-cosθ)]
即可以将它理解为点(0，1)和点(-cosθ，sinθ)之间直线的斜率
点(-cosθ，sinθ)在圆x²+y²=1上，画图可知斜率∈(-∞，0)∪(0，+∞)
因此x+y的取值范围为(-∞，0)∪(0，+∞)

Answer 2

(OA-yOB)^2=(xOC)^2,
|OA|^2-2yOAOB+y^2x|OB|^2=x^2|OC|^2
由于|OA|=|OB|=|OC|，OA⊥OB
所以1-y^2=x^2
即x^2+y^2=1
令x=sina,则y=cosa
x+y=sina+cosa=√2sin(a+45°)
因-1<sin(a+45°)<1
所以-√2<x+y<√2

Answer 3

题目是否有错，向量相等的话就不会垂直了！

Answer 4

x=1,y=0;x+y=1