Question

；设W1和W2是V的子空间，且W=W1+W2，互证明以下等价命题 1.W1交W2={0} 2.W1+W2中任意一个向量的表示是唯一

3.W1的基+W2的基+W的基
4.W1的维数+W2的维数=W的维数

Answer 1

1推2：若a=a1+b1=a2+b2有两种表示方法，其中a1，a2位于W1，b1，b2位于W2，则
a1-a2=b2-b1,，注意到a1-a2位于W1，b2-b1位于W2，因此这两个向量同时位于W1和W2，于是由1知道a1-a2=0，b2-b1=0。故表示法唯一。
2推3:a1，....，ar；b1，...，bs分别是W1，W2的基，下证这些向量组成W1+W2的基。
只需证明线性无关。设k1a1+...+krar+t1b1+..+tsbs=0=0a1+...+0ar+0b1+...0bs，由于表示法唯一，于是必有k1=...=kr=b1=...=bs=0，故无关。
3推4：显然。
4推1：由等式dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2)+dim（W1交W2)，知道
dim(W1交W2)=0，故得结果。