Question

几何试题

Answer 1

证明:由于角DCE+角BCA+角DFC=90度.
且:角BCA+角A=90度.
所以有:角A=角DCE+角DFC,又角A=2角CFD,故得到角DCE=角DFC
所以,三角形DCE相似于三角形DFC,即有DE/DC=DC/DF.
又有tanA=BC/AB=3,又tanA=tan2CFD=2tanCFD/(1-(tanCFD)^2)=3【这里用到公式tan2x=2tanx/[(1-(tanx)^2]】
故得到tanCFD=(根号10-1)/3.
又tanCFD=DC/DF=DE/DC
DF=DC/tanCFD
DE=DC*tanCFD
所以,EF/CD=(DF-DE)/CD=(DC/tanCFD-DC*tanCFD)/DC=1/tanCFD-tanCFD=3/(根号10-1)-(根号10-1)/3=(根号10+1)/3-(根号10-1)/3=2/3
即有:EF/DC=2/3.

Answer 2

证明：∵ ∠A=2∠CFD ∠A+∠ACB=∠DFC+∠FCE+∠ECD=90° ∠ACB=∠FCE
∴∠A=∠CFE+∠ECD 即 ∠ECD=∠CFE=½∠A tan∠CFD=CD／DF=DE／CD
∵tan∠A=tan2∠CFD=(2tan∠CFD)／(1-tan²∠CFD)=3
∴2tan∠CFD=3-3tan²∠CFD → 2CD／DF=3-3(CD／DF)²=3[1-﹙CD／DF﹚²]
∴ 2CD／DF=3[﹙1-CD／DF﹚﹙1+CD／DF﹚]
∴2／3=﹙DF／CD﹚﹙1-CD／DF﹚﹙1+CD／DF﹚→[﹙DF／CD﹚-1][﹙DC／DF﹚﹢1]＝2／3
∴DF／DC-DC／DF＝2／3 ∵CD／DF=DE／CD
∴﹙DF／DC﹚-﹙DC／DF﹚=﹙DF／DC﹚-﹙DE／CD﹚ =EF／ CD＝2／3