Question

已知函数f(x)=4^x/(4^x+2）

已知函数f(x)=4^x/(4^x+2）

试求f(1/n)+f(n-1/n)（n属于N*）的值
若数列{an}满足an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+…+f[(n-1)/n]+f(1)（n属于N*）,求数列{an}的通项公式
若数列{bn}满足bn=2^(n+1)*an,Sn是数列{bn}前n项的和，是否存在正实数k,使不等式knSn>4bn对于一切的n属于N*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由。

Answer 1

1
若x1+x2=1
则 f(x1)+f(x2)=4^x1/(4^x1+2)+4^x2/(4^x2+2)
=[4^x1(4^x2+2)+4^x2(4^x1+2)]/[(4^x1+2)(4^x2+2)]
=[2×4^(x1+x2)+2(4^x1+4^x2)]/[4^(x1+x2)+2(4^1+4x2)+4]
=[8+2(4^x1+4x2)]/[8+2(4^x1+4^x2)]
=1
∵1/n+(n-1)/n=1∴f(1/n)+f[(n-1)/n]=1

∵an=f(0)+f(1/n) +f(2/n)+…+f[(n-1)/n]+f(1)
∴an=f(1)+f[(n-1)/n+f[(n-2)/n+....+f(1/n)+f(0)
两式相加：
2an=[f(0)+f(1)] +{f(1/n)+f[(n-1)/n]}+............+[f(1)+f(0)] (n+1组）
=1+1+1+............+1= n+1
∴an=(n+1)/2
2
bn=2^(n+1)*an=2^(n+1)×(n+1)/2=(n+1)2^n
Sn=2×2+3×2^2+4×2^3+5×2^4+...........+(n+1)2^n (1)
2Sn=2×2^2+3×2^3+4×24+...........+n×2^n+(n+1)×2^(n+1) (2)
(1)-(2):
-Sn=4+(4+8+16+..........+2^n)-(n+1)×2^(n+1)
=4+4[2^(n-1)-1]-(n+1)2^(n+1)
= -n×2^(n+1)
∴Sn=n×2^(n+1)
knSn>4bn <==> kn²×2^(n+1)>4(n+1)2^n <==>k>2(n+1)/n²
2(n+1)/n²=2(1/n²+1/n)=2[(1/n+1/2)²-1/4]
∵n≥1∴1/n∈(0,1]
∴1/n=1时，2(n+1)/n²取得最大值 4
∴符合条件的k值范围是k>4

刚看到，4月25日的，不好意思，回答的晚点

Answer 2

（1）结果为1；
（2）（n+1)/2;