Question

已知。如图,二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)(1)求证:二次函数的图像与x轴必有两个不同的交点。

(2)这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且x1的平方加x2的平方等于10，求抛物线的解析式。
(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

b^2-4ac=(m-3)(m-3)-4*(-3)=(m+3)(m+3),因为m>0,故(m+3)(m+3)>0,所以二次函数的图像与x轴必有两个不同的交点。

追问

请你看一下第二问和第三问

追答

2. x1+x2=(3-m)/m,
x1*x2=-3/m
所以x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1*x2=9/m²+1=10,
解得m=1(m=-1<0舍去)
带入y=mx2+(m-3)x-3得y=x²-2x-3

追问

谢谢，第三问呢

追答

3.设P(a，a²-2a-3)，直线BC与PD交点是M
因为△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分
所以DM等于三分之一PD，故M(a，(a²-2a-3)/3),
又M在直线BC：y=x-3上，带入M(a，(a²-2a-3)/3),得（a²-2a-3)/3=a-3
解得a=2或3,。当a=2时，M（2，-3）符合题意；当a=3时，M和B重合，不合题意，舍去。
综上所述，存在P(2,-3)使△PBD被直线BC分成面积比为1：2的两部分。

Answer 2

判别式
Δ=(m-3)²+12m
=m²-6m+9+12m
=m²+6m+9
=(m+3)²
又m>0
故Δ>0

因此，二次函数的图像与x轴必有两个不同的交点

追问

请你看一下第二问和第三问

Answer 3

Δ=(m-3)²+12m
=m²-6m+9+12m
=m²+6m+9
=(m+3)²
又m>0
故Δ>0

因此，二次函数的图像与x轴必有两个不同的交点