在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直

于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证:EF//平面PAD;(2)求证:平面PAB垂直于平面PCD.... 于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD. (1)求证:EF//平面PAD; (2)求证:平面PAB垂直于平面PCD. 展开
看涆余
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1、∵E是PC中点,F是AC的中点,

∴EF是△PAC的中位线,

∴EF//PA,

∵PA∈平面PAD,

∴EF//平面PAD,(直线平行于两面内的直线则必平行于该平面)。

2、取AD中点M,连结PM,

PM是△PAD的中线,

∵PA=PD=√2a/2,

∴△PAD是等腰△,

∴PM⊥AD,

∵平面PAD⊥平面ABCD,

∴PM⊥平面ABCD,(二平面垂直,若一平面内直线垂直交线,则垂直另一平面),

∵CD∈平面ABCD,

∴PM⊥CD,

∵ 四边形ABCD是正方形,

∴CD⊥AD,

∵AD∩PM=M,

∴CD⊥平面PAD,

∵PA∈平面PAD,

∴CD⊥PA,

在△PAD中,PA^2+PD^2=a^2/2+a^2/2=a^2,

AD^2=a^2,

∴根据勾股定理逆定理,

△PAD是RT△,

∴PA⊥PD,

∵PD∩CD=D,

∴PA⊥平面PDC,

∵PA∈平面PAB,

∴平面PAB⊥平面PCD,证毕。

drug2009
2012-04-26 · TA获得超过1.4万个赞
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PAD垂直ABCD,AD中点M
AD=a
PM=√[(√2a/2)^2-(a/2)^2]=a/2

1
E、F是PC、BD中点
正方形ABCD
F也是AC中点
三角形PCA中,中位线EF//PA
EF//平面PAD
2
CM^2=DM^2+CD^2=a^2/4+a^2
PC^2=PM^2+CM^2=a^2/4+a^2/4+a^2=a^2/2+a^2
PC^2=PD^2+CD^2
PD垂直CD
PA^2+PD^2=AD^2
直角三角形PAD PA垂直PD
PAD垂直PCD
PA垂直PCD
PAB垂直PCD
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elysir
2012-04-26 · TA获得超过3.9万个赞
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取CD中点G,连接EG,FG

则 FG⊥CD,EG⊥CD

∴CD⊥平面EFG

又CD⊥平面PAD

∴平面EFG∥平面PAD

∴EF//平面PAD

PA=PD=(根号2/2)AD

∴△PAD是直角△

∴PA⊥PD

又 PD⊥CD

PA⊥AB

∴ <APD是二面角

∴平面PAB垂直于平面PCD

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a1377051
2012-04-26 · TA获得超过8.9万个赞
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⑴ 设G是CD中点,EG∥=PD/2 ﹙中位线﹚,FG∥=BC/2﹙中位线﹚,BC∥AD
∴FG∥AD ∴平面EFG∥PAD EF∥PAD
⑵ 设H是AD中点,则PH⊥AD﹙三合一﹚,PAD⊥ABCD ∴PH⊥ABCD
PA=PD=(根号2/2)AD ∴⊿PAD等腰直角,PA⊥PD
∵AB⊥AD ∴AB⊥PA﹙三垂线定理﹚ AB∥DC∴PA⊥DC
∵PA⊥PD, PA⊥DC
∴PA⊥PCD PA∈PAB ∴PAB⊥PCD
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