Question

已知椭圆C：X^2/4+y^2/3=1，点P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C

于另一点E，直线AE与x轴相交于点Q，过点Q的直线与椭圆C交于M,N两点，求向量OM和向量ON的数量积的取值范围

Answer 1

设A（x0，y0）B（x0，-y0）
PB：x=[-(x0-4)/y0]y+4
代入椭圆利用韦达定理点E：y=3y0/(2x0-5),x=(5x0-8)/(2x0-5)
直线AE：y-3y0/(2x0-5)=y0/(x0-1)[x-(5x0-8)/(2x0-5)]
化简：y=y0/(x0-1)(x-1)
点Q：（1，0）
设过Q的直线方程y=k(x-1).
代入椭圆方程x^2/4+y^2/3=1
x^2/4+k^2(x-1)^2/3=1
(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0
x1+x2=8k^2/(3+4k^2)
x1x2=(4k^2-12)/(3+4k^2)
y1y2=k^2(x1-1)(x2-1)=k^2[x1x2-(x1+x2)+1]=k^2*(-4k^2-12+3+4k^2)/(3+4k^2)=-9k^2/(3+4k^2)
所以,向量OM*ON=x1x2+y1y2=(4k^2-12-9k^2)/(3+4k^2)=(-5k^2-12)/(3+4k^2)=[-5/4(4k^2+3)-33/4]/(4k^2+3)=-5/4-(33/4)/(4k^2+3)
由于4k^2+3>=3,故有1/(4k^2+3)<=1/3
所以,OM*ON>=-5/4-(33/4)*1/3=-4.