Question

求证几何平均数、加权平均数、算术平均数、调和平均数的大小关系

麻烦简单地证明一下

Answer 1

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.就是
1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)=<(a+b)/2=<√[a^2+b^2)/2] (a>0,b>0)
证明:
1)几何平均数=<算术平均数<-->√(ab)=<(a+b)/2.......(*)
a>0,b>0--->√a-√b是任意实数
--->(√a-√b)^2>=0
--->a+b-2√(ab)>=0
--->a+b>=2√(ab)
--->√(ab)=<(a+b)/2
2)(*)--->a+b>=2√(ab)
--->2ab=<(a+b)√(ab)
--->2ab/(a+b)=<√(ab)
--->1/[(1/a+1/b)/2]=<√(ab)......(**)调和平均数=<几何平均数
3)(a-b)^2>=0--->a^2+b^2>=2ab
--->a^2+b^2+2ab=<2(a^2+b^2)
--->2(a+b)^2=<4(a^2+b^2)
--->[(a+b)/2]^2>=(a^2+b^2)/2
--->(a+b)/2=<√[(a^2+b^2)/2]......(***)算术平均数=<平方平均数

Answer 2

在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的。计算结果前者恒小于等于后者。
加权平均数等于算术平均数，因为加权平均数就是算术平均数，只不过是因为数据中有相同的值，因而也可以用加权平均数计算算术平均数，
几何平均数小于等于算术平均数，因为（a+b)平方-2ab大于等于0，即（a+b)/2大于等于根号ab