Question

如图,PC切圆O于点C,割线PBA经过圆心O,若设AP=a,BP=b,试利用图形，给出基本不等式的一种几何解释。

Answer 1

基本不等式（a+b）/2≥√(ab)，其中a＞0，b＞0，当a=b时
等号成立是显然的。当a≠b时，不妨设a＞b，a-b=2r，
可以利用附图说明不等式的正确性。
图中，AP=a，BP=b，OA=OB=r，有a=AB+BP=2r+b，（a+b)/2=(2r+b+b)/2=r+b=PO；
据切线的性质，PC²=AP*BP=ab，则PC=√(ab)，且∠PCO=90°。
在Rt△PCO中，熟知斜边大于直角边，即PO＞PC，就是（a+b）/2＞√(ab)。