Question

求不定积分∫[√（x+1）-1]/[√(x+1)+1]dx

Answer 1

∫ [√(x + 1) - 1]/[√(x + 1) + 1] dx
= ∫ (√u - 1)/(√u + 1) du，u = x + 1
令t = √u，u = t²，du = 2tdt
= ∫ (t - 1)/(t + 1) · 2t dt
= 2∫ (t² - t)/(t + 1) dt
= 2∫ [t(t + 1 - 1) - t]/(t + 1) dt
= 2∫ [t(t + 1) - 2(t + 1 - 1)]/(t + 1) dt
= 2∫ [t(t + 1) - 2(t + 1) + 2]/(t + 1) dt
= 2∫ [t - 2 + 2/(t + 1)] dt
= t² - 4t + 4ln|t + 1| + C
= u - 4√u + 4ln|√u + 1| + C
= x + 1 - 4√(x + 1) + 4ln|√(x + 1) + 1| + C
= x - 4√(x + 1) + 4ln|√(x + 1) + 1| + C''

追问

2∫ [t(t + 1) - 2(t + 1) + 2]/(t + 1) dt到
2∫ [t - 2 + 2/(t + 1)] dt
怎么其中的(t + 1)没了？
2∫ [t - 2 + 2/(t + 1)] dt怎么化到 t² - 4t + 4ln|t + 1| + C

追答

拆掉分式吧
[t(t + 1) - 2(t + 1) + 2]/(t + 1)
= [t(t + 1)]/(t + 1) - [2(t + 1)]/(t + 1) + 2/(t + 1)
= t - 2 + 2/(t + 1)

2∫ [t - 2 + 2/(t + 1)] dt
= 2[∫ t dt - 2∫ dt + 2∫ dt/(t + 1)]
= 2[∫ t dt - 2∫ dt + 2∫ d(t + 1)/(t + 1)]
= 2[t²/2 - 2t + 2ln|t + 1|] + C，全部用公式
= t² - 4t + 4ln|t + 1| + C

追问

求不定积分∫[x^2√(4-x^2)]dx

追答

用x = 2siny，dx = 2cosy dy，自己尝试做下吧，很简单的
最后讲y = arcsin(x/2)回代好了~

追问

你写下过程，谢谢！

追答

∫ x²√(4 - x²) dx，晕，自己尝试下最实际吧
= ∫ 4sin²y · 2cosy · 2cosy dy
= 16∫ sin²ycos²y dy
= 16∫ (1/2 · sin2y)² dy
= 4∫ sin²2y dy
= 4∫ (1 - cos4y)/2 dy
= 2(y - 1/4 · sin4y) + C
= 2arcsin(x/2) - 2sinycosycos2y + C
= 2arcsin(x/2) - 2 · x/2 · √(4 - x²)/2 · [(4 - x²)/4 - x²/4] + C
= 2arcsin(x/2) + (x/4)(x² - 2)√(4 - x²) + C

追问

4∫ sin²2y dy怎么化到4∫ (1 - cos4y)/2 dy

追答

恒等式cos2x = 1 - 2sin²x ==> sin²x = (1 - cos2x)/2

追问

4∫ (1 - cos4y)/2 dy化到2(y - 1/4 · sin4y) + C
那个1/4怎么来的？
答案怎么是：2arcsin（x/2）-(x/2)√[(4-x^2)]^3+(x^3)√(4-x^2)+C

追答

∫ cos(4y) dy = ∫ cos(4y) · (1/4)d(4y) = (1/4)∫ cos(4y) d(4y) = (1/4)sin(4y)
你的答案不对劲，对结果求导得不到被积函数

追问

2arcsin(x/2) - 2sinycosycos2y + C怎么化到2arcsin(x/2) - 2 · x/2 · √(4 - x²)/2 · [(4 - x²)/4 - x²/4] + C
前面那一步不是约了一个2吗？那不就是（1/2）sin（4y）吗？

追答

x = 2siny，siny = x/2 = 对边/斜边，cosy = 邻边/斜边 = √(2² - x²)/2 = √(4 - x²)/2
cos2y = cos²y - sin²y，都代siny = x/2，cosy = √(4 - x²)/2进去好了
之后再整理一下就得出最简化的答案了

追问

前面那一步不是约了一个2吗？那不就是（1/2）sin（4y）吗？

追答

2(1/4 · sin4y) = 2(1/4 · 2sin2ycos2y) = 2(1/2 · sin2ycos2y) = 2(1/2 · 2sinycosycos2y)
= 2sinycosycos2y

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