Question

设f(x)=x+a/x,g(x)=x^3-x^2-3,如果在[1/2,2]上任取s,t,都有f(s)≥g(t)成立，求a的取值范围。

请求高人指点，希望有详细过程！

Answer 1

因为g(x)=x³-x²-3
所以g(x)′=3x²-2x
因为t∈[1/2，2]
所以令g(t)′=0，解得t=2/3
当t∈[1/2，2/3)时，g(t)′<0，即g(t)单调递减
当t∈(2/3，2]时，g(t)′>0，即g(t)单调递增
所以比较g(1/2)和g(2)的大小即可确定g(t)在[1/2，2]上的最大值
因为g(1/2)= -25/8<g(2)=1
所以g(t)在[1/2，2]上的最大值=1
所以f(s)≥1当s∈[1/2，2]恒成立
即s+a/s≥1恒成立
整理得a≥s-s²
因为二次函数f(s)=s-s²=-(s-1/2)²+1/4在[1/2，2]上的最大值为f(1/2)=1/4
所以a的取值范围为[1/4，+∞）