Question

三角函数奇偶性

设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是_________

Answer 1

f(x)=sin2x,
f(x+t)=sin2(x+t)=sin(2x+2t)
f(x+t)是偶函数
f(-x+t)=f(x+t)
sin2(-x+t)=sin2(x+t)
sin(-2x+2t)=sin(2x+2t)
-sin(2x-2t)=sin(2x+2t)
sin(2x-2t)+sin(2x+2t)=0
sin2xcos2t-cos2xsin2t+sin2xcos2t+cos2xsin2t=0
2sin2xcos2t=0
cos2t=0
2t=kπ+π/2
t=(2k+1)π/4；k∈Z
t可能的值为π/4、5π/4等

Answer 2

由于sinx不可能是偶函数，那么只能通过名称代换变成cos才可以,，因此要用换名称的诱导公式才可以，因为cosx才是偶函数。首先f(x)=sin(2x+2t), 那么2t只能是pi/2，3pi/2， 等等 即pi/2+kpi, k可以取任意整数

Answer 3

sin(2(x-pi/4))= sin(2x-pi/2) = -cos(2x)显然为偶函数
对应的t=-pi/4

Answer 4

π/4

t的取值为π/4+kπ/2（k为整数）

Answer 5