Question

一道高中数学函数题

Answer 1

这个我似乎做过，首先f（0）=0，你的那些条件根本就接不下去了，要接着做的似乎要把函数定义为自然数，才行哟！自然数的话，可得F(1)=2,F(2)=3,F(3)=6,这样一次类推，得F（6）=9，F(9)=18, 在推下去，就可的答案吧！这个应该是有F（k）的通项。我再想一下！
1.
由f(k)在N上取值==>0≤f(0).
f(k)是递增函数，
==>0≤f(0)≤f(f(0))=0
==>
f(0)=0.

2.
f(k)是递增函数和1.的结论==>1≤f(1).
ⅰ.
若1=f(1)==>f(f(1))=f(1)=1和f(f(1))=3矛盾.
==>
1<f(1).

ⅱ.
==>
1<f(1)<f(f(1))=3
==>
f(1)=2,
f(2)=f(f(1))=3,
f(3)=f(f(2))=6.

3.
命题:
当3^s≤k≤2*3^s时,f(k)=k+3^s.
当2*3^s≤k≤3^(s+1)时,f(k)=3k-3^(s+1).

证:对s用数学归纳法.
ⅰ.
s=1时,f(1)=2,f(2)=3,f(3)=6,命题成立.

ⅱ.
假设s=t时,命题成立.
当s=t+1时,
3^(t+1)≤k≤2*3^(t+1)

(A)
若k=3u==>
==>
3^t≤u≤2*3^t
==>
2*3^t≤u+3^t≤3^(t+1)
根据假设==>
f(u+3^t)=3*[u+3^t]-3^(t+1)=k.
==>
f(k)=f(f(u+3^t))=3(u+3^t)=k+3^(t+1)

(B)
若k=3u+1,3u+2,根据(A)和递增性得:
3u+3^(t+1)=f(3u)<f(3u+1)<f(3u+2)=f(3u+3)=3u+3+3^(t+1)
==>
f(3u+1)=3u+3^(t+1)+1,f(3u+2)=3u+3^(t+1)+2.
所以3^(t+1)≤k≤2*3^(t+1),f(k)=k+3^(t+1).

ⅲ.
假设s=t时,命题成立.
当s=t+1时,
2*3^(t+1)≤k≤3^(t+2)
3^(t+1)≤k-3^(t+1)≤2*3^(t+2)
根据ⅱ.得
f(k-3^(t+1))=k
==>
f(k)=f(f(k-3^(t+1)))=3(k-3^(t+1))=3k-3^(t+2).

由ⅱ.ⅲ.得:当s=t+1时,命题成立.
所以命题得证.

4.
3≤6≤2*3
3^4≤96≤2*3^4
==>
f(6)=6+3=9.
f(96)=96+3^4=177
==>
f(1)+f(9)+f(96)=2+9+177=188.

Answer 2

106√3

Answer 3

没学好，不会