Question

已知数列{an},{bn}满足a1=2,2an=1+an·a(n+1),bn=an－1,求数列{bn}的通项公式，

令Tn=S2n－Sn,求Tn中最小项的值

Answer 1

2an=1+an·a(n+1)
两边同除an得
a(n+1)=2-1/an
a1=2
a2=3/2
a3=4/3
：
猜想an=(n+1)/n
带入2an=1+an·a(n+1),成立说明猜想成立
那么bn=(n+1)/n-1=1/n
Tn=S2n－Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
1/(2n-2)+1/(2n-1)＞1/(n+1)＜1/(2n+1)+1/(2n+2)
解出n

Answer 2

2(bn+1)=1+(bn+1)(b(n+1)+1)
2bn+2=1+bnb(n+1)+bn+b(n+1)+1
所以bnb(n+1)-bn+b(n+1)=0
同除bnb(n+1)，得1-1/b(n+1)+1/bn=0
即1/b(n+1)=1/bn+1，即{1/bn}为等差数列
又1/b1=1/(a1-1)=1
所以1/bn=n
bn=1/n

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