Question

A,B两数都只含有质因数3和5,它们的最大公因数是75,已知数A有12个因数,数B有10个因

数，那么A、B两数的最小公倍数是多少？

请详细讲解如何做，急急急！

Answer 1

75=5*5*3
A数中也有这3个因数5 5 3其它还有9个因数
B数中也有这3个，其它还有7个
因为最大公因数是75
所以A剩下因数全为5或3，对应的B剩下因数全为3或5
一个数约数的个数=每个质因子指数+1后的乘积
A=5*5*3*5*5*5=9375 B的约数个数为10=2*5，则B=3*5*5*3^n,约数个数为（n+1+1）*(2+1)不可能等于10，舍去
A=5*5*3*3*3(约数个数为(3+1)(2+1)=12)=675
B=5*5*3*5*5（(约数个数为(4+1)(1+1)=10）=1875
符合条件
所以A、B的最小公倍数。。。。

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75＝3×5×5＝(3^1)·(5^2)
两数有且只有一个数含有因数5不超过2个，否则125是其公因数…………①
同理，可得：两数有且只有一个数含有因数3不超过1个……………………②
①②不是同一个数，否则该数只有(2＋1)(1＋1)＝6个因数

A：12＝3×4＝2×6
B：10＝2×5且无因数3
即A符合条件①②，B符合条件②
∴满足条件①的是A，满足条件②的是B，则
A＝[5^(3－1)]·[3^(4－1)]＝(5^2)·(3^3)＝675
B＝[3^(2－1)]·[5^(5－1)]＝(3^1)·(5^4)＝1875
所以A、B的最小公倍数。。。。

注：x^y表示x的y次方。

另可参考：http://zhidao.baidu.com/question/278215955.html
根据约数个数公式，本题中
Z = 3^M *5^N，则约数个数 = (M+1)*(N+1)

按条件
75 = 3*5*5
则对B，约数个数 = 10 = 2×5 = (1+1)*(4+1)
推得B = 3^1 * 5^4 = 1875

对A，至少含有1个因数3，至多含有2个因数5，则由
约数个数 = 12 = (2 + 1)*(3 + 1)
推得A = 5^2 *3^3 = 675

所以A、B的最小公倍数。。。。

关于约数个数公式，参考：
baike.baidu.com/view/1780622.htm