Question

如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=AB，D为BC边上一动点，BC=nDC，CE⊥AD，垂足为E，

延长BE交AC与点F。
试探究当n为何值时，点F是AC的中点，并说明理由。

Answer 1

题干写错了，是AC=BC吧

设DC=1，BC=n，
则AD=√(1+n²)

由射影定理可以知道，CD²=DE×AD，
故DE=1/√(1+n²)，AE=AD-DE=n²/√(1+n²)

由梅涅劳斯定理可以知道，（不知道的话参看一下http://baike.baidu.com/view/148234.htm）
点B在CD的延长线上，
故(AF/FC)×(CB/BD)×(DE/EA)=1
现在点F是AC的中点，故AF/FC=1，
CB/BD=n/(n-1)，
所以得到EA/DE=n/(n-1)，
即n²=n/(n-1)，
显然n大于0，
化简得到n²-n-1=0，
解得n=(1+√5)/2

Answer 2

假设F是AC的中点，延长EF到Q，使得FQ=EF，连接CQ，过电F作FP平行于AD交BC于P。
则有BC：DC=AC：DC=EC：PC=BF：BP=BQ：BC=（1+根号5）/2

Answer 3

提示：用相似三角形，△ACD和△CDE，并利用AF=CF，然后求关系，顺其得结果。。。。

Answer 4

学习下。