Question

已知函数f(x)=ax/(1+x^2) (a>0)的图像为曲线C. 求f(x)d的单调区间

2、若曲线C的切的切线斜率K的最小值为-1,求实数a的值

Answer 1

1.f'(x)=a[1+x^2-2x^2]/(1+x^2)^2
=a(1-x)(1+x)/(1+x^2)^2,a>0,
-1<x<1时f'(x)>0,f(x)↑；
x<-1或x>1时f'(x)<0,f(x)↓。
2.f'(x)最小值为-1，
∴a(1-x^2)≥-(1+x^2)^2,
设g(x)=(1+x^2)^2+a(1-x^2)
=x^4+(2-a)x^2+1+a
=(x^2+1-a/2)^2+1+a-(1-a/2)^2
=(x^2+1-a/2)^2+2a-a^2/4,
则g(x)的最小值=0，
∴2a-a^2/4=0,a>0,
∴a=8.