Question

在矩形ABCD中，BC=2AB,E是AD上一点，且角DCE=15°，求证：BC=BE.

Answer 1

在AD上取点F，使CF=BC，连接CF、BF.
∵BC=2AB=2CD
∴CF=2CD
∴∠CFD＝30°
∵AD∥BC
∴∠BGF＝30°
∴∠CBF＝75°
∴∠ABF＝15°
∴△ABF≌△DCE
∴BF=CE
∴BE=CF=BC

Answer 2

在CD上取一点F，使CF＝EF。利用赋值法，令DE＝1。
∵CF＝EF，∴∠FEC＝∠FCE＝15°，∴∠DFE＝∠FEC＋∠FCE＝30°。
∵ABCD是矩形，∴AD＝BC、AB＝DC、∠BAE＝∠EDF＝90°。
由∠EDF＝90°、∠DFE＝30°、DE＝1，得：EF＝2、DF＝√3，∴CF＝EF＝√3，
∴DC＝DF＋CF＝DF＋EF＝√3＋2，∴BC＝2AB＝2DC＝2√3＋4，
∴AE＝AD－DE＝BC－DE＝2（√3＋2）－1＝3＋2√3，
∴AE^2＝（3＋2√3）^2＝3（√3＋2）^2。

显然有：BC^2－AB^2＝BC^2－DC^2＝（2√3＋4）^2－（√3＋2）^2＝3（√3＋2）^2＝AE^2，
∴BC^2＝AB^2＋AE^2。
由勾股定理，有：BE^2＝AB^2＋AE^2，∴BC^2＝BE^2，∴BC＝BE。