Question

证明 3的2n+2次方-8n-9（n属于正整数）能被64整除

Answer 1

3^(2n + 2) - 8n - 9
= 9*9^n - 8n - 9
= 9*(9^n - 1) - 8n
= 9*((8 + 1)^n - 1) - 8n ——下一步用二项式定理
= 9*((8^n + C[1]*8^{n-1} + ... + C[n-2]*8^2 + C[n-1]*8 + 1) - 1) - 8n
其中，C[x]是二项式系数，而很容易知道C[1] = C[n-1] = n。
显然，括号内的前面所有的项都是64的倍数（有8的若干次方在），只剩下C[n-1]*8 + 1 - 1需要考虑。将前面的所有项统统用64K表示。
3^(2n + 2) - 8n - 9
= 64K + 9*(8n) - 8n
= 64K + 64n
所以是64的倍数。
证毕。
这有http://zhidao.baidu.com/question/401888378.html

Answer 2

3的2n+2次方-8n-9
=3^(2n+2)-8n-9
=9^(n+1)-8n-9
=(8+1)^(n+1)-8n-9
=8^(n+1)+C(n+1,1)8^n+...+C(n+1,2)8^2+(n+1)8+1-8n-9
=8^(n+1)+C(n+1,1)8^n+...+C(n+1,2)8^2
显然是64的倍数

Answer 3

3^2n+2-8n-9
=9*（9^n -1) -8n
=9*(1+n*8+P-1)-8n （二项式展开9^n=（1+8）^n,P代表二项式展开后除1+n*8外的部分，可以知道P能被64整除）
=9*P-64n
所以可以被64整除。

Answer 4

3^(2n+2)-8n-9
=9^(n+1)-8n-9
=(8+1)^(n+1)-8n-9
=[8^(n+1)+(n+1)*8^n+……+n(n+1)/2*8^2+(n+1)*8+1]-8n-9
=8^(n+1)+(n+1)*8^n+……+n(n+1)/2*8^2
每一项都可以被8^2=64整除
所以3^(2n+2)-8n-9可以被64整除