Question

在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f（x）=1/2x^3+ax-b在区间【-1,1】上有且仅有一个零点的概率是

Answer 1

这是一元二次函数与概率的综合题
【思路】
1. 求导函数f ' (x)的表达式；
2. 令f ' (x)=0，讨论原函数f(x)的单调性；
4. 求f(-1)和f(1)的值；
3. 结合f(x)的单调性，利用画图法求得结论。

【解题过程】
解：导函数 f ' (x) = (3/2)x² + a
∵a∈[0,1]
∴f ' (x) ≥ 0
∴原函数f（x）=1/2x^3+ax-b 为 定义在(-∞，+∞)内的单调递增函数。
∴只要令 f(-1)* f(1) ≤ 0 即可使函数f(x) 的图像在区间[-1,1]上有且仅有一个零点。
而，f(-1) = - 1/2 - a - b ， 由a、b∈[0,1]可得 f(-1)必小于零
令 f(1) = 1/2 + a - b ＜0
则，b ＞ a + 1/2
此时，f(-1)* f(1) ＞0， 则函数f(x) 在[-1,1]上没有零点。
换言之，当b ≤ a + 1/2 时，满足题意。

以a为自变量，b为a的函数，
画图可知， 所求概率的全排列 是以(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点组成的正方形，记面积为S
满足题意的区域为 直线 b=a+1/2分割正方形的下方部分 ，记面积为S1
根据概率公式
所求概率 = 满足条件的可能情况个数 / 全排列个数
= S1 / S
= 【1*1 - (1/2)*(1/2)(1/2) 】/(1*1) ←（用正方形减去上面的小△，自己画图看看吧）
= 0.875

欢迎追问 ~~

Answer 2

x∈[-1,1],a，b∈（0,1],
f'(x)=(3/2)x^2+a>0,
∴f(x)↑，
∴f(x)在[-1,1]上恰有一个零点，
<==>f(-1)<0<f(1),
<==>-1/2-a-b<0<1/2+a-b,
<==>a+b>-1/2(显然成立），b-a<1/2.
画示意图知，所求概率=7/8.